Transformaciones Geometricas

Habitualmente, un paquete gráfico permite al usuario especificar que parte de unaimagen definida se debe visualizar y dónde esta parte se debe colocar en el dispositivo devisualización. Cualquier sistema de coordenadas que sea conveniente, referido al sistema dereferencia de coordenadas del mundo, se puede usar para definir la imagen.

Transformaciones bidimensionales

Traslacion

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de latrayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos unpunto bidimensional al agregar las distancias de traslación.

La traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sindeformarlos, es decir, se traslada cada punto del objeto la misma distancia.

Rotación

Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de latrayectoria de una circunferencia en el plano de xy . para generar una rotación,especificamos un ángulo de rotación Θ y la posición (x r , y r ) .

Los valores positivos para el ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuestoa las manecillas del reloj alrededor del punto pivote y los valores negativos giran los objetosen la dirección del reloj . También es posible describir esta transformación como unarotación sobre el eje de rotación que es perpendicular al plano de xy  y pasa a través delpunto pivote.El primer paso es determinar las ecuaciones de transformación para la rotación de laposición de un punto P cuando el punto pivote está en el origen de las coordenadas.

Escalación

Una transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar estaoperación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice porlos factores de escalación sx y sy  para producir las coordenadas transformadas (x’, y’).

Los objetos que se transforman con las ecuaciones  se escalan y cambian deposición. Los factores de escalación con valores menores que 1 acercan los objetos alorigen de las coordenadas en tanto que los valores mayores que 1 alejan las posiciones decoordenadas del origen.Podemos controlar la localización de un objetos escalado al seleccionar una posiciónllamada punto fijo, que debe permanecer sin cambios después de la transformación deescalación. 

Coordenadas homogéneas y representaciónmatricial

En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones,rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posicionesapropiadas. En este tema consideramos cómo se pueden volver a formular lasrepresentaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esassecuencias de transformación.

Composición de transformacionesbidimensionales

Con las representaciones de matriz del tema anterior, podemos establecer una matrizpara cualquier secuencia de transformaciones como una matriz de transformacióncompuesta al calcular el producto de la matriz de las transformaciones individuales. Lacreación de productos de matrices de transformación a menudo se conoce comoconcatenación o composición de matrices.

Rotación del punto pivote general

Con un paquete gráfico que sólo ofrezca una función de rotación para girar objetoscon respecto del origen de las coordenadas, podemos generar casi cualquier punto pivoteseleccionado (x r , y r ) al realizar la siguiente secuencia de operaciones de traslación-rotación-traslación:

1.Traslade el objeto de modo que se mueva la posición del punto pivote al origende las coordenadas.

2.Gire el objeto con respecto del origen de las coordenadas.

3.Traslade el objeto de manera que se regrese el punto pivote a su posiciónoriginal.